对“单位”的再认识

也许有很多朋友意识到了，特别是在物理和化学等学科上，单位同样可以看成是代数并参与代数运算，比如解决这样的一道物理题：

一块岩石突然松动从峭壁顶上掉下来，求掉下来了的头2秒中岩石的平均速度。
（一块致密的固体在地球表面附近从静止状态自由落下，下落的头t秒中下落英尺数为：$$ y=16t^{2} $$）

设$$ y=f(x) $$

我们有：
$$ 平均速度 = \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = 32 英尺/秒$$

思考：此时我们如果突然希望将其换算成米/分钟，还需要回去将2秒化为分钟，再将函数$$f(x)$$里的英尺化为米，然后重新算一遍吗？

实际上，按照我们之前的理论，单位也是代数式，同样可以参与运算，由于我们知道：
$$1英尺 = 0.3米$$
$$1秒 = \frac{1}{60}分钟$$
于是
$$\frac{1英尺}{1秒} = \frac{0.3米}{\frac{1}{60}分钟}$$
将其带入等式即可：

因为：
$$g(x) = 32\times\frac{1英尺}{1秒} = 32 \times \frac{0.3米}{\frac{1}{60}分钟}$$
所以，整理得：
$$g(x) = \frac{32\times3}{\frac{1}{6}}\frac{米}{分钟} = 576米/分钟$$

好。实际上如果把它们看成了代数式，还可以参与更加复杂等式变换运算。所以在式子变换过程中保留单位是有意的。但是，为什么单位可以看成代数式呢？

我们看下面这个简单的例子：
假如有10颗葡萄，我们是否可以用$$10x$$表示，其中$$x$$表示1颗葡萄？
答案是肯定的。
那么，其中$$x = 1颗葡萄$$
于是$$10x = 10 \times 1颗葡萄 = 10颗葡萄$$
我们省略去中文表述中的一些细节，可以有
$$10x = 10颗$$ （葡萄）
同理，把单位都看成自变量，有
$$5x = 5米$$
$$5x = 5分钟$$
即$$x = 某单位$$
所以单位就等同于代数式，可以参与代数运算。