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一．引言
作为20世纪数学理论最重要的成果之一，哥德尔不完备性定理被誉为数学和逻辑发展史中的里程碑。不完备定理的提出不仅具有划时代的数学意义，而且蕴含了深刻的哲学韵味。历史上从来没有哪一个数学定理能够如它一样，对人类文明的进步产生了如此广泛而深远的影响。作为一名二十一世纪的高中生，我们有必要了解它，并通过它来审度我们的物质世界，感受科学的艰难和思想的伟大。
二．关键词
不完备 科学发展 哥德尔不完备性定理 知识
三．正文
（一）不完备处处存在，真理窥探不易。
由于人类思维的感性和不完全的理性，我们往往不能真正的做到客观对待我们的世界。这就好比瞎子摸象，我们所谓的真理只是我们站在我们的角度的片面认识，它或许能在我们现有的科学中被冠以“真理”但实际上它们是不完备的，甚至是错误的。因此，从某种意义上来说不完备处处存在，真理窥探不易！读到这里，你或许会对上述命题表示怀疑，但这恰好从某些方面说明了上述命题是正确的。人们常说第一印象很重要，究其原因是因为一种先入为主的保守思维在作怪，当我们第一次接触到命题时，一旦我们自己判断它是对的，我们的思维就会奉之为真理，当接触到另一些命题时，我们便会不假思索的否定。因此，许多不完备的思想往往在我们脑中根深蒂固，从而减缓了科学的真理化进程。
从上述来看真理与命题之间的矛盾似乎是不完备的必然表现。这个表现的本质在于不能证明“真理”本身的完备性，而“真理命题”只能建立在体系完备（真理完备）的基础上，哥德尔不完备性定理恰恰证明完备真理是不可能的。因此，当人追求“完备命题”时，就已经偏离了追求“真理”的正确道路，其结果必然是：发现“完备真理”就是绝对的不完备。 哥德尔定理的核心在于完备真理不存在，这是人的认识论造成的．
哥德尔关于不完备性定理，首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。不完备性定理是关于不可判定命题存在的一般结果。其推导都有两个不可逾越的前提： （1）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。 （2）命题的真理性在映射下保持不变（特别是真理和命题是同真假的）。因此往往严谨的推理不能做到真正的严谨。以前数学家总以为：如果某个命题是正确的，一定可以用数学演绎方法证明其为真；如果某个数学命题是错误的，也定又可以用数学演绎方法证明其为假。正如法国数学家庞加菜所说"在数学中，当我拟定了作为约定的定义和公设以后，一个定理就只能为其或为假。但是，要回答这个定理是否为真，就不再需要我们将要求助的感觉证据，而要求助于推理。"哥德尔不完备性定理的建立举粉碎了数学家两千年来的信念。它告诉我们，真与可证是两个概念，"可证性"涉及到个具有能行性的较为机械的思维过程，而"真理性"则涉及到一个能动的超穷的思维过程。因此，可证的一定是真的，但真的不一定可证。从这个意义上说，不完备的阴影将永远伴随着我们。
哥德尔定理的证明思想来源于对不完备的分析，而哥德尔定理的另一个重大意义在于：不完备定理仅仅存在于数学系统中，还是普遍存在于所有系统中呢（自然科学系统，社会科学系统）？作为理科生，我认为自然科学系统上已有许多可以证明的事例，最突出的莫过于天文学中日心说与地心说的碰撞，现在很少有人会认为地心说的不可思议，但倘使让我们回到那个时代，或许我们的看法会有所不同吧！即使这样地心说仍然有许多不足之处。也就是说它仍是不完备的。另一个事例来源于经典物理学中的牛顿力学，爱因斯坦以前人们很少会怀疑它的正确性，仿佛它就是亘古不变的“真理”，但它的不完备最终还是让它从科学的神坛上走了下来，但取而代之的相对论就一定是“真理”吗？答案可想而知。所以，哥德尔定理已经超越了数学和逻辑学，提 出了无法回避的哲学问题；改变着我们对世界的看法。
（二）不完备孕育真理，错误并非无用。
科学的不完备已成事实，那么对不完备科学的研究是不是就毫无意义了呢？答案是否定的，众所周知，在漫长的数学发展史中，曾有过三次危机：无理数的发现；微积分的创立，集合论的悖论。第一次数学危机使数学从数的不完备出发让数由“有限”进入了“无限”，第二次数学危机使数学从有限与无限的不完备出发集中反映了有限与无限的概念。第三次数学危机则是由集合论的不完备出发阐明了集合的意义。不难看出，数学史上的三次危机，都是与不完备联系在一起的。而这些不完备最终导致了数学的严谨发展，让人类不断地深化了人类对数学的研究和理解。因此科学的不完备一定程度上也在推动科技发展！正如我国著名科学家郝柏林院士所言，“否定比肯定更具普遍性”。在科学上，一个否定性结论的形成往往标志着一个新科学方向的产生。认识到绝对温度零度不能达到，恰恰是低温物理学的开始；认识到质点不能超光速运动，正好是相对论的开端；认识到测不准原理，恰好是量子力学的诞生。尽管我们对任何事物的认识随时都是不完备的，但是我们的认识毕竟在这样的不完备中真的前进了。 另外，科学的不完备告诉我们即得的知识尽管并不是完备的真理，纵使不断完善也未必能去除所有的不完备，然而它是人类与世界之间最有效的纽带。追求绝对的真理知识是不可能的，但这并不意味着我们在知识的可靠性上一定要采取一种彻底地抵触态度。世界上虽没有那种不容置疑的绝对真理知识，但知识也不是非要有那种不容置疑的绝对正确不可。因为，知识的历史就是人类不懈追求知识的绝对完备而逐步显现知识的不完备的历史。这就需要我们始终怀有对科学的质疑和追求！
四．参考文献
《希尔伯特之梦，以及梦的破灭》
《论数学原理及有关系统中不可判定命题》
《现代科学史》
部分理论资料来源于互联网
*由于水平有限，对相关理论还有待学习，对论文中的谬误与不当之处表示歉意。
[attach]440997[/attach]在日益复杂的关系社会中，我们总是渴望获取更多别人的信息，却忽视了认识自己的重要性。在下面这个例子里，我们将会看到，在缺乏沟通与交流的情况下，利用自己手中的信息也能改变整个局势。
“双人猜硬币”游戏
音乐与数字：数学博物馆的这个展品向人们展示音乐与数学的相互作用 人们大都觉得数学难以理解、枯燥乏味、空虚无聊，或者干脆就觉得数学是以上特点的集合体。如今，格伦·惠特尼想要证明这都是错的。 他坚信将有成千上万的游客涌向明年于曼哈顿开放的数学博物馆，然后带着几何、数字和其他数学概念赋予他们的激情与活力离开。 惠特尼先生曾经是一位数学家，以其数学特长在长岛的一家对冲基金供职。2008年年底，凭着雄厚资金的资助和使数学趣味化的诉求，他辞去了工作。他说：“我们希望向人们展示数学的宏伟与美丽。” 
形状：数学博物馆将向人们解释形状如何构成图案 两年前，他和他的团队搞了一个叫做“数学游乐场”的类似嘉年华的巡展，为计划中的博物馆做概念论证。它包括一辆装有不同尺寸方形轮子的三轮车，参观者却骑着它可以很平稳很轻松地沿着一条类似花瓣突起的圆形轨道行进。配套的标签上是这样解释的：圆形轨道的表面呈波浪状，轨道的凹凸结构正好与车轮的奇怪形状配合得严丝合缝，于是就保证了三轮车的车轴 - 以及骑乘者 - 在运动过程中始终保持在一个高度。 
骑行：在那次巡展上展出了一辆装有方形车轮的三轮车 惠特尼先生希望丰富多彩的互动道具能帮助他实现目标。他说：“如果随机采访路人，问他们会用什么形容词来描述数学，很少会有人说‘美好’吧。” 
积少成多：格伦·惠特尼已为他开设在26大街东11号的博物馆筹集到2,200万美元 他的愿景吸引来大量的捐赠。这间即将在26大街东11号的博物馆已经筹集到2,200万美元，其中包括Google投入的200万美元和来自许多私人投资者的资金（没错，包括许多对冲基金的投资）。 作为一间数学博物馆，它能否成功还有待观察。目前美国一家现存的数学博物馆也没有，长岛曾经有过一家，2006年关门大吉了。许多自然科学博物馆都包含一些数学主题，但惠特尼先生绰号“MoMath”（数学怪兽？）的博物馆里却没有什么恐龙啊天文啊之类的展品，他的博物馆只专注于抽象的东西 - 数学。 博物馆顾问委员会成员，纽约大学数学家沙利文·E·卡佩尔这样形容惠特尼先生和他的员工：“他们是一群不折不扣的理想主义者。” 目前博物馆尚未建成，惠特尼先生时常在散步的时候指出曼哈顿随处可见的“数学奇观”。42岁的他变得很孩子气，甚至表现出令人有些接受不了的痴迷。比如说他会谈论为什么银杏树的树枝会比其他类型树的树枝交汇成直角的概率大，或者为什么纽约消防栓上的螺栓是五边形而不是常见的六角螺栓。 三年前，他在文艺复兴科技公司（Renaissance Technologies）工作，为其研究算法。这家私人投资公司利用建立数学模型的方式寻找投资方向。但据他自己介绍说，在那工作了几年之后，他想寻找一个能“更直接回报社会”的职业。 后来他听说长岛的那间数学博物馆关门了。他开始考虑建立一个数学博物馆，而自己正应该是创建它的不二人选。 惠特尼先生说：“我当时真的认为自己认识到自己的使命了。我这不是夸夸其谈，只是觉得它真的很是符合我的人生经验、能力与爱好等等。” 在他看来，MoMath将为推动美国的数学教育尽一份绵薄之力。多年以来美国学生在国际范围的数学竞赛中表现平平，人们往往担心美国会丧失其强劲的科技实力。 当惠特尼先生把这些动机作为支撑自己追求的理由时，他又是一位现实主义者。没错，这个博物馆可以作为知识的催化剂和教学资源，不过单凭它并不能提高数学成绩。惠特尼说：“我当然不会对它期望值过高。”[hold breath for在特定情况下有“对某物期望值别太高”的意思，此处可联系上一句理解。 - 译者注] 相反，他解释说，这间博物馆的使命是改变文化偏见，消除人们长久以来给数学扣上的坏名声。“这是在参加鸡尾酒会时你可以骄傲地告诉别人自己有多糟糕的唯一领域。”惠特尼先生如是说。 他希望这间博物馆至少能是影响一部分人使他们更深入地投身数学。他期待着通过把尖端数学研究分散化的方法，让热情的参观者也能参与进来帮助解决问题。他说：“我们希望这间博物馆能成为一个点燃星星之火的地方。” 对惠特尼先生来说，这星星之火来自他一次锁骨受伤的经历。他14岁那年参加了俄亥俄州立大学组织的一个数学夏令营 - 他说自己把它看成是一次在夏天离家出走的机会，而不是去学习数学这样一种他认为很简单的无聊而没有魅力的科目。在一场足球赛中他撞上了一个大个子导致受伤。因为养伤期间无事可做，他只能研究那些自己认为非常无聊的数学题。 这些问题与在学校中接触到的不同，它们跨越了数学中很多不同的分支，并突出了它们之间的联系。他说：“就在那个夏天我彻底爱上了数学。从那时开始数学便成了我终生的挚爱。” 在哈佛大学主修了数学之后，他又在加利福尼亚大学洛杉矶分校获得了博士学位。在加入文艺复兴技术公司之前，他曾在密歇根大学任教。 他将市中心一件堆满数学难题和雕塑的小房间用作办公室，在那儿他和他的20人团队一起，为在现已占地1.9万平方英尺的博物馆中如何展览出谋划策。 其中一个思路是，将一个大立方体每一面都打上相通的方孔，这是一种被称为“孟结海绵”的结构[MengerSponge即孟结海绵的相关理论由波兰数学家谢尔平斯基于1916年提出 - 译者注]。当参观者沿着对角线方向分别拉扯这个立方体的时候，那些方孔就变成了六芒星的形状。博物馆内容主管乔治·哈特说：“人们会发出像是‘天啊这太帅了’这样的感叹，这就是数学带给你巨大震撼的一个绝佳例子。” 博物馆还有一年多的时间才能开张，惠特尼先生却已经开始做更长远的打算了：他要建一个更大的博物馆，从而达到更显著的文化影响。 他说：“数学的领域有着各式各样的神话。” 数学很难、数学很无聊、数学只适合男孩子、数学在现实生活中无关紧要……“这些文化中的所谓‘神话’却正是我们要打破的！”
